Matrizes

Matrizes, determinantes e sistemas lineares

Conceitos Básicos

 Uma matriz é uma forma de dispor números na forma de uma tabela com linhas e colunas. A ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas e colunas que ela possui. Vejamos o exemplo:

2	3	7
45	56	11

 É importante atentar para a sequência correta. Quando falamos da matriz A2x3, queremos dizer que A possui duas linhas e três colunas. É sempre assim: primeiro o número de linhas, depois o número de colunas. Lembre-se: na matriz, tudo está organizado LINHA-COLUNA. Um caso particular de matrizes são as matrizes quadradas, que são aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas.

Elemento

 O elemento de uma matriz é identificado pela linha e pela coluna em que se localiza. O elemento aij está na linha i e na coluna j. Por exemplo, nas matrizes anteriores, temos:

a13 = -1

b21 = -3

Note que o elemento a13 está na primeira linha e na terceira coluna da matriz A e que o elemento b21 está na segunda linha e na primeira coluna da matriz B.

Soma de Matrizes

 A soma de matrizes só pode ser feita entre duas matrizes de mesma ordem, produzindo uma nova matriz de mesma ordem.

Cmxn = Amxn + Bmxn

 A soma é feita elemento a elemento. Pode-se escrever matematicamente que:

Cij = aij + bij

 Em outras palavras, qualquer elemento da matriz C é igual à soma dos elementos das matrizes A e B que estejam na linha e coluna correspondentes.

Produto de Matrizes

O primeiro ponto a se comentar é que o produto de matrizes nem sempre é compatível. É necessário que as matrizes tenham dimensões apropriadas. Para que seja possível realizar o produto AB, precisamos que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B.

C = AmxpBpxn = Cmxn

Vejamos alguns exemplos.

C = A3x2B2x1 = C3x1

C = A4x3B3x3 = C4x3

C = A3x2B3x2 = não é compatível

É interessante que o produto de duas matrizes de mesma ordem nem sempre é compatível, como no caso apresentado. Na verdade, esse produto somente será compatível no caso de matrizes quadradas. Além disso, o produto de matrizes, em regra, não é comutativo. Ou seja, o produto AB é diferente de BA, na maioria dos casos. É bastante possível que ambos os produtos existam, mas sejam de ordens diferentes.

C = A4x3B3x4 = C4x4

D = B3x4A4x3 = D3x3

Também é possível que o produto AB exista, mas não exista o produto BA.

C = A3x2B2x1 = C3x1

B2x1A3x2 não é compatível

O produto de matrizes deve ser feito linha por coluna. Podemos estabelecer o seguinte algoritmo:

C = AB .‘. Cij = Ai . Bj

Essa notação não é rigorosamente matemática, é apenas uma forma de escrever que eu criei para facilitar o entendimento sobre o produto de matrizes. Em outras palavras, o elemento c12 (primeira linha e segunda coluna de C) é igual à soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz A pelos elementos da segunda coluna da matriz B.

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