Números complexos
Os números complexos surgem a partir da
necessidade de resolução de equações que
possuem raiz de números negativos, o que, até então, não era
possível de resolver-se trabalhando com os números reais. Os números complexos
podem ser representados de três formas: a forma algébrica (z
= a + bi), composta por uma parte real a e uma
parte imaginária b; a forma geométrica, representada
no plano complexo conhecido também como plano de Argand-Gauss; e a sua forma
trigonométrica, conhecida também como forma polar. Com base na sua
representação, como estamos trabalhando com um conjunto numérico, os números
complexos possuem operações bem definidas: adição, subtração, multiplicação,
divisão e potenciação.
Pela representação geométrica no
plano complexo, definimos também o módulo (representado por |z|)
de um número complexo — que é a distância do ponto que representa o número
complexo até a origem —, e o que é o argumento de um número complexo — que é o
ângulo formado entre o eixo horizontal e o seguimento que liga a origem ao
ponto que representa o número complexo.
•
Necessidade
dos números complexos
Na matemática, a
ampliação de um conjunto numérico para um novo conjunto, ao longo da história,
foi algo bastante comum. Acontece que, nesse decorrer, a matemática
desenvolveu-se, e então, para atender as necessidades da época, foi
percebido que existiam números que não pertenciam ao conjunto numérico a que se
referia. Foi assim com o surgimento dos conjuntos
numéricos dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e dos reais, e
não foi diferente quando houve a necessidade de ampliação do conjunto dos
números reais para o dos números complexos.
•
Ao tentarmos resolver equações do
segundo grau, é bastante comum que encontremos a raiz quadrada de
um número negativo, o que é impossível de ser resolvido no conjunto dos
números reais, por isso a necessidade dos números complexos. O início do estudo
desses números recebeu contribuições de matemáticos importantes, como Giralmo
Cardono, porém o conjunto deles foi formalizado por Gauss e Argand.
•
Forma algébrica de um número complexo
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Ao tentar-se resolver uma equação do segundo
grau, como x² = –25, muitas vezes ela era dita como sem solução. Não obstante,
na tentativa de algebrizar, surgiu então a representação algébrica, que
possibilita a realização de operações com esses números, ainda que não se
consiga calcular a raiz quadrada de um número negativo.
•
Para facilitar a resolução das situações em que
se trabalha com a raiz
quadrada de um número negativo, foi definida a unidade
imaginária.
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i=√ -1
•
Então, analisando-se a equação apresentada x² =
-25, temos que:
•
Desse modo, as soluções para a equação são -5i e 5i.
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Para definir-se a forma algébrica, foi utilizada
a letra i, conhecida como unidade
imaginária de um número complexo. Um número complexo é representado por:
z = a + bi
•
Em que a e b são
números reais.
•
a: parte real, indicada por a =
Re(z);
•
b: parte imaginária, indicada por Im(z);
•
i: unidade imaginária
•
Exemplos
a) 2 + 3i
b) -1 + 4i
c) 5 – 0,2i
d) -1 – 3i
•
Operações com números complexos
•
Como todo conjunto numérico, as operações
precisam estar bem definidas, logo, é possível realizar-se as
quatro operações básicas dos números complexos levando-se em consideração a
forma algébrica apresentada.
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Adição de dois números complexos
•
Para realizarmos a adição de
dois números complexos z1 e z2,
faremos a soma da parte real de z1 e z2 e
a soma da parte imaginária, respectivamente.
•
Seja:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
•
Exemplo
1
•
Realização
da soma de z1 e z2.
z1 =
2 + 3i
z2 =
1 + 2i
z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 2)i
z1 + z2 = 3 + 5i
•
Exemplo
2
•
Realização
da soma de z1 e z2.
z1 =
5 – 2i
z2 =
– 3 + 2i
z1 + z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)i
z1 + z2 = (5 – 3) + 0i
z1 + z2 = 3 + 0i = 3
•
Subtração de dois números complexos
•
Antes de falarmos sobre subtração,
precisamos definir o que é o inverso de um número complexo, ou
seja, z = a + bi. O inverso de z, representado por –z, é o número
complexo –z = –a – bi.
•
Para realizarmos a subtração entre z1 e
–z2, assim como na adição, faremos a subtração entre as
partes reais e entre as partes imaginárias separadamente, porém é
necessário compreender-se que –z2 é o inverso de um número
complexo, o que torna necessário a realização do jogo de sinal.
•
Exemplo
1
•
Realização
da subtração de z1 e z2.
z1 =
2 + 3i
z2 =
1 + 2i
z1 – z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i
z1 – z2 = 1 + 1i = 1+ i
•
Exemplo
2
•
Realização
da subtração de z1 e z2.
z1 = 5 – 2i
z2 =
– 3 + 2i
z1 – z2 = (5 – (–3)) + (–2 – 2)i
z1 – z2 = (5 + 3) + (–4)i
z1 – z2 = 8 + (–4)i
z1 – z2 = 8 –4i
•
Potências da unidade imaginária
•
Antes de falarmos em multiplicação, precisamos
entender a potência da unidade imaginária. Na busca por um método para
calcular-se potências de in, é necessário perceber que
essas potências comportam-se de forma cíclica. Para isso, vamos calcular
algumas potências de i.
•
Acontece que as próximas potências nada mais são
que a sua repetição, note que:
i 4 = i 2 · i 2 =
(–1) (–1) = 1
i 5 = i 2 · i 3 =
(–1) (–i) = i
Ao continuarmos a calcular as
potências, as respostas sempre serão elementos do conjunto {1,i,–1,–i},
então, para encontrarmos uma potência da unidade i n,
faremos a divisão de n (o expoente) por 4, e o resto dessa
divisão (r = { 0, 1, 2, 3}) será o novo expoente de i.
•
Exemplo 1
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Cálculo de i25
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Ao fazermos a divisão de 25 por 4, o quociente
será 6 e o resto será igual a 1. Então temos que:
i 25 = i1 = i
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Exemplo 2
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Cálculo de i 403
•
Ao dividirmos 403 por 4, o quociente será 100,
pois 100 · 4 = 400, e o resto será 3, então temos que:
i 403 = i 3 = –i
•
Multiplicação de números complexos
•
Para realizarmos a multiplicação de dois números
complexos, vamos aplicar a propriedade distributiva. Seja:
z1 =
a + bi
z2 = c +di,
então o produto:
z1 · z2 =
(a + bi) (c + di), aplicando a propriedade distributiva,
z1 · z2 =
ac + adi + cbi + bdi 2, mas,
como vimos, i ² = -1
z1 · z2 =
ac + adi + cbi – bd
z1 · z2 = (ac – bd) + (ad + cb)i
•
Utilizando-nos dessa fórmula, é possível
encontrarmos o produto de quaisquer dois números complexos, mas, de modo geral,
ela não precisa ser decorada, já que, para o cálculo em questão, basta
aplicarmos a propriedade distributiva.
•
Exemplo
Cálculo do produto de (2+3i) (1 – 4i):
(2+3i) (1 – 4i) =
2 – 8i + 3i – 12i ²,
lembrando que i² = -1:
(2 + 3i) (1 – 4i) =
2 – 8i + 3i + 12
(2 + 3i) (1 – 4i) =
(2 + 12) + (– 8 + 3)i
(2+3i) (1 – 4i) =
14 – 5i
Realizar as atividades das
páginas
9 e 10 Exercícios 1 ao 3.
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